Tableau de contingence d'un test de dépistage

Activité tirée et adaptée de https://eduscol.education.fr/document/25492/download , l'appliquette GeoGebra est de Vincent Pantaloni https://www.geogebra.org/m/gc5qwamw

Pour pouvoir commercialiser un test de dépistage, on doit s'assurer de son efficacité. Pour ce faire, on applique le test sur un échantillons de  \(n\) des personnes dont on sait qu’il contient  \(x\) personnes malades et   \(n-x\) personnes saines. A partir des résultats du test appliqué aux individus de cet échantillon, on détermine les caractéristiques du test.

On pourra alors avoir des indications comme, par exemple, la probabilité que si un individu obtient un test positif il soit effectivement malade.

Afin de pouvoir passer des calculs de fréquences à l'intérieur de l'échantillon à des valeurs de probabilités généralisables à toutes la population, les hypothèses suivantes sont faites : 

• l’échantillon de calibrage est représentatif de la population totale ;
  
• le nombre d'individus de l'échantillon est suffisamment grand.
  

Lecture et exploitation d'un tableau de contingence
Les données récoltées lors de la phase d'application du test sur l'échantillon sont résumées dans un tableau à double entrée, appelé tableau de contingence, contenant :

Lors de l'étude on distingue 4 typologies d'individus.

• Vrais positifs (notés \(vp\) ) : individus qui sont malades et dont le test positif.
  
• Vrais négatifs (notés \(vn\) ) : individus qui ne sont pas malades et dont le test est négatif.
  
• Faux positifs (notés \(fp\) ) : individus qui ne sont pas malades, mais dont le test est positif.
  
• Faux négatifs (notés \(fn\) ) : individus qui sont malades, mais dont le test est négatif.
  

1. Identifier dans quelles cases du tableaux il faudra insérer les effectifs de chacune des quatre catégories d'individus. 

On appelle sensibilité du test la probabilité qu'une personne malade ait un test positif.
On appelle spécificité du test la probabilité qu'une personne saine ait un test négatif.

2. Exprimer la sensibilité et la spécificité du test en fonction de \(vp,vn,fp \text{ et }fn\) .

3. Compléter le tableau de contingence suivant puis calculer la sensibilité et la spécificité du test. Cliquer sur Vérifier puis sur Solution pour valider ou corriger votre travail.